image-20220624003350907

第一章

第二章

第三章

第四章

第五章

第六章

第七章

第八章

第九章

第十章

第十一章

第一章 绪论

通信性能指标：

信息量：消息x所含的信息量I是x发生的概率的函数I(x)=−log⁡2(P(x))I(x)=-\log_2(P(x)) 单位 bit

信息传输速率：

  • 传码率RBR_B：单位时间内传输码元（可以是二进制、多进制）的个数，单位 Baud/s

  • 传信率RbR_b：单位时间内传输的比特总数，单位 bit/s或bps

  • 关系：Rb=RBlog⁡2MR_b =R_B \log_2M 其中 M 为进制数

频带利用率（2种表示方式，B为信号传输占用的带宽）：

  • η=RBB  (Baud/Hz)\eta=\frac{R_B}{B} ~~(Baud/Hz)
  • ηb=RbB  (bit/s/Hz)\eta_b=\frac{R_b}{B} ~~(bit/s/Hz)

误码率：

  • 码元差错率：Pe=错误码元数传输的总码元数P_e=\frac{错误码元数}{传输的总码元数}
  • 信息差错率：Pe=错误比特数传输的总比特数P_e=\frac{错误比特数}{传输的总比特数}

第二章 随机信号与噪声分析

随机过程X(t)的数字特征

  • 数学期望：E[X(t)]=∫−∞+∞xf(x,t)dxE[X(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty}x f(x, t)dx

  • 方差：D[X(t)]=E{[X(t)−a(t)]2}D[X(t)] = E\{[X(t)-a(t)]^2\} 其中a(t)为数学期望

  • 自相关函数（重要）：R(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]R(t_1, t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]

  • 协方差函数：B(t1,t2)=E{[X(t1)−a(t1)][X(t2)−a(t2)]}B(t_1, t_2)=E\{[X(t_1)-a(t_1)][X(t_2)-a(t_2)]\}，

    且B(t1,t2)=R(t1,t2)−a(t1)a(t2)B(t_1, t_2)=R(t_1, t_2)-a(t_1)a(t_2) (重要)

平稳随机过程

广义平稳：

  • 均值与时间t无关，为常数aa
  • 自相关函数只与时间间隔有关，为R(τ)R(\tau)

狭义平稳：

  • 一维情况：的概率密度函数与时间t无关

判断X(t)=Acos⁡(ωt+φ)X(t)=A\cos(\omega t+φ) 的平稳性，其中A和ω为常数，φ服从【均匀分布】，则

  • E[X(t)]=0E[X(t)]=0
  • RX(t1,t2)=A22cos⁡ωτR_X(t_1,t_2)=\frac{A^2}{2}\cos\omega \tau，其中τ=t2−t1\tau=t_2-t_1

综上：X(t)是广义平稳的

【平稳随机过程的各态历经性】：

假设 x(t) 是平稳随机过程X(t)X(t) 的任意一次实现，则其时间均值、时间相关函数分别为：

  • 时间均值：a‾=lim⁡T→∞1T∫−T/2T/2x(t)dt\overline{a}=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2} x(t)dt
  • 时间相关函数：R(τ)‾=lim⁡T→∞1T∫−T/2T/2x(t)x(t+τ)dt\overline{R(\tau)}= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t)x(t+\tau)dt

如果平稳过程使得下式成立：

  • a=E[X(t)]=a‾a=E[X(t)]=\overline{a}
  • R(τ)=R(τ)‾R(\tau)=\overline{R(\tau)}

则该平稳随机过程具有各态历经性

【自相关函数的性质】：

记住这幅图就可以记住R(τ)R(\tau) 的性质(拿随机信号处理的PPT的图来顶一下😅)

  • R(τ)R(\tau) 为偶函数
  • R(0)=E[X2(t)]=σ2+E2(∞)R(0)=E[X^2(t)]=\sigma^2 + E^2(\infty) 图中的σX2\sigma_X^2 即方差，mX2m_X^2 即E2(∞)E^2(\infty)
  • R(0)R(0)为平均功率，σ2\sigma^2为交流功率，E2(∞)E^2(\infty) 为直流功率

image.png

【功率谱密度函数PX(ω)P_X(\omega)】

  • 确定信号：Px(ω)=lim⁡T→∞∣XT(ω)∣2TP_x(\omega)=\lim_{T\to \infty} \frac{|X_T(\omega)|^2}{T}

  • 随机信号：PX(ω)=E[Px(ω)]=lim⁡T→∞E[∣XT(ω)∣2]TP_X(\omega)= E[P_x(\omega)] = \lim_{T\to \infty} \frac{E[|X_T(\omega)|^2]}{T}

性质：自相关函数的傅里叶变换等于PX(ω)P_X(\omega)，即R(τ)⇔PX(ω)R(\tau)\Leftrightarrow P_X(\omega)

  • PX(ω)P_X(\omega) 是确定函数，偶函数，非负函数

  • 随机过程的平均功率=R(0)=12π∫−∞+∞PX(ω)dωR(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} P_X(\omega) d\omega

第三章 信道与噪声

香农公式：

信道容量：C=Blog⁡2(1+S/N)C=B\log_2(1+S/N) (bit/s)

第四章 模拟调制系统

幅度调制

  • 普通调幅AM

    sAM(t)=[A0+m(t)]cos⁡ωcts_{AM}(t)=[A_0+m(t)]\cos \omega_ct 其中m(t)为输入的调制信号，输出sAM(t)s_{AM}(t) 为【调幅信号】，所以经过调制的信号都可称为 【已调信号】

    调幅度：max⁡(m(t))A0\frac{\max(m(t))}{A_0} 调幅度小于等于 1 时可以采用包络检波

  • 双边带调幅DSB

    sDSB=m(t)⋅cos⁡(ωct)s_{DSB}=m(t)\cdot \cos(\omega_ct)

  • 单边带调制（调制结果分为上边带、下边带两种）

    • 上边带：sUSB=12m(t)cos⁡(ωct)−12m^(t)sin⁡(ωct)s_{USB}=\frac{1}{2}m(t)\cos(\omega_ct)-\frac{1}{2}\hat{m}(t)\sin(\omega_ct)

    • 下边带：sLSB=12m(t)cos⁡(ωct)+12m^(t)sin⁡(ωct)s_{LSB}=\frac{1}{2}m(t)\cos(\omega_ct)+\frac{1}{2}\hat{m}(t)\sin(\omega_ct)

      注：m^(t)\hat{m}(t) 是m(t)m(t) 的希尔伯特变换，即 m(t) 的正频率部分相位减去π2\frac{\pi}{2}

      image-20220624114805244

带宽：BAM=BDSB=2BSSB=2BVSBB_{AM}=B_{DSB}=2B_{SSB}=2B_{VSB}

功率：设PmP_m为调制信号m(t)m(t) 的平均功率E(m2(t))E(m^2(t))，则

  • PAM=载波功率+边带功率=Pc+Ps=A022+Pm2P_{AM}=载波功率+边带功率=P_c+P_s=\frac{A_0^2}{2}+\frac{P_m}{2}
  • PDSB=Ps=Pm2P_{DSB}=P_s=\frac{P_m}{2}
  • PSSB=12Ps=14PmP_{SSB}=\frac{1}{2}P_s=\frac{1}{4}P_m

调制效率：ηAM=PsPAM{\Large \eta_{AM}=\frac{P_s}{P_{AM}}}

解调：

  • AM解调：

    • 相干解调：mo(t)≈12[m(t)+A0]→隔直12m(t)m_o(t)\approx \frac{1}{2}[m(t)+A_0]\overset{隔直}{\rightarrow} \frac{1}{2}m(t)
    • 包络检波：mo(t)≈m(t)+A0→隔直m(t)m_o(t)\approx m(t)+A_0\overset{隔直}{\rightarrow} m(t)

  • DSB解调：

    相干：mo(t)=12m(t)m_o(t)=\frac{1}{2}m(t) 输出功率：Po=14m2(t)‾=14PmP_o=\frac{1}{4}\overline{m^2(t)}=\frac{1}{4}P_m

  • SSB解调：

    相干：mo(t)=14m(t)m_o(t)=\frac{1}{4}m(t)，Po=116m2(t)‾=116PmP_o=\frac{1}{16}\overline{m^2(t)}=\frac{1}{16}P_m

解调器的信噪比增益：

  • GAM≤1G_{AM}\le 1 (包络检波、且为大信噪比时)，单音调制，且调制度=100%时，GAM=2/3G_{AM}=2/3
  • GDSB=2G_{DSB}=2
  • GSSB=1G_{SSB}=1

平稳高斯白噪声ni(t)n_i(t) 通过解调器后，输出no(t)=ni(t)/2n_o(t)=n_i(t)/2，因此输出噪声功率No=Ni/4N_o=N_i/4

通常高斯白噪声的[双边]功率谱n02\frac{n_0}{2} W/Hz，[单边]功率谱为n0n_0 W/Hz

角度调制

调角信号：sm(t)=A0cos⁡(ωct+φ(t))s_{m}(t)=A_0\cos(\omega_ct+\varphi(t))

  • 调相：φ(t)=KPm(t)\varphi(t)=K_P m(t)
  • 调频：dφ(t)dt=KFm(t)\frac{d\varphi(t)}{dt}=K_F m(t)

调频带宽：BFM=2(D+1)fmB_{FM}=2(D+1)f_m ，其中fmf_m 为调制信号m(t)的最高频率

  • 窄带调频时，D<<1,BNBFM=2fmD<<1, B_{NBFM}=2f_m
  • 宽带调频时，BFM=2(D+1)fmB_{FM}=2(D+1)f_m
    • D为调频指数，D=Δfm/fmD=\Delta f_m/f_m，Δfm=KF∣m(t)∣max⁡\Delta f_m=K_F|m(t)|_{\max} 为最大频偏，单音调制时用mfm_f代替 D

功率：窄带、宽带均为PFM=载波功率=A02/2P_{FM}=载波功率=A_0^2/2

调频信号的解调：

  • 非相干解调mo(t)=KdKFm(t)m_o(t)=K_dK_Fm(t)
  • 相干解调：mo(t)=12A0KFm(t)m_o(t)=\frac{1}{2}A_0K_Fm(t)

信噪比增益：GFM=3mf2(mf+1)≈3mf3G_{FM}=3m_f^2(m_f+1)\approx 3m_f^3

第五章 数字基带传输系统

各种编码

  • 单极性不归零码

  • 双极性不归零码

  • 单极性归零码

  • 双极性归零码

  • AMI码（传号反转码，1码交替用正、负电平表示，0码用低电平表示）

  • HDB3码（解决AMI码中连0长串问题）

    1
    原码->AMI码->加V（交替正负）->加B（与后一个V正负相同）->±V、±B改为±1

数字基带传输

数字基带信号功率谱：

Ps(f)=Pu(f)+Pv(f)=fbP(1−P)∣G1(f)−G2(f)∣2+∑m=−∞+∞fb2∣PG1(mfb)+(1−P)G2(mfb)∣2δ(f−mfb)P_s(f) = P_u(f)+P_v(f)\\ = f_bP(1-P)|G_1(f)-G_2(f)|^2+\sum_{m=-\infty}^{+\infty} f_b^2|PG_1(mf_b)+(1-P)G_2(mf_b)|^2\delta(f-mf_b)

单极性NRZ(含直流分量)双极性NRZ(0,1等概发送)单极性RZ(含离散分量)双极性RZ(0,1等概发送)
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无码间干扰

无码间干扰最大速率：RB=21+αfchR_B=\frac{2}{1+\alpha}f_{ch} ，fchf_{ch}为系统最高截止频率

最大码速时的频带利用率：η=21+α\eta=\frac{2}{1+\alpha} (Baud/Hz)

无码间干扰的误码率：

  • 双极性、等概率发送0，1：Pe=12erfc(A2σn)P_e=\frac{1}{2}erfc(\frac{A}{\sqrt{2}\sigma_n})
  • 单极性、等概率发送0，1：Pe=12erfc(A22σn)P_e=\frac{1}{2}erfc(\frac{A}{2\sqrt{2}\sigma_n})

部分响应系统

特点：频带利用率可以达到 2 Baud/Hz

实现方式：

  1. 预编码：bk=ak⊕bk−1b_k=a_k\oplus b_{k-1}
  2. 相关编码（消除误码传播）：ck=bk+bk−1c_k=b_k+b_{k-1}
  3. 译码：ak=bk⊕bk−1=[ck]mod  2a_k=b_k\oplus b_{k-1}=[c_k]_{\mod{2}}

均衡器

输出：

yk=∑i=−NNCixk−iy_k=\sum_{i=-N}^N C_ix_{k-i}

第六章 数字信号频带传输

主要介绍如何将数字信号调制到高频范围进行传输

带宽

  • B2ASK=2RBB_{2ASK}=2R_B
  • B2FSK=∣f1−f2∣+2RBB_{2FSK}=|f_1-f_2|+2R_B
  • B2DPSK=B2PSK=2RBB_{2DPSK}=B_{2PSK}=2R_B

误码率

相干解调

  • 2ASK:12erfc(r4)\frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{r}{4}}), r>>1时，1πre−r/4\frac{1}{\sqrt{\pi r}} e^{-r/4}
  • 2FSK:12erfc(r2)\frac{1}{2} erfc(\sqrt{\frac{r}{2}}), r>>1时，12πre−r/2\frac{1}{\sqrt{2\pi r}} e^{-r/2}
  • 2PSK:12erfc(r)\frac{1}{2}erfc(\sqrt{r}), r>>1时，12πre−r\frac{1}{2\sqrt{\pi r}} e^{-r}
  • 2DPSK:erfc(r)erfc(\sqrt{r}), r>>1时，1πre−r\frac{1}{\sqrt{\pi r}} e^{-r}
  • 4PSK:erfc(rsin⁡π4)erfc(\sqrt{r}\sin\frac{\pi}{4})
  • 4DPSK:erfc(2rsin⁡π8)erfc(\sqrt{2r}\sin\frac{\pi}{8})

非相干解调

  • 2DPSK（差分相干解调）:12e−r\frac{1}{2}e^{-r}
  • 2FSK（包络检波）:12e−r/2\frac{1}{2}e^{-r/2}
  • 2ASK（包络检波）:12e−r/4\frac{1}{2}e^{-r/4}

解调框图

…

第七章 现代数字调制技术

主要看书，了解基本目的和原理

QAM：带宽、频率利用率记一下即可

第八章 模拟信号的数字传输

主要介绍模拟信号如何转换为数字信号：采样、量化、编码

采样定理

fs=2fmf_s=2f_m

了解一下理想采样、自然采样、平顶采样

带通抽样定理

采样角频率：

ωs=2W(1+MN)\omega_s=2W(1+\frac{M}{N})

其中

  • N=floor(ωH/W)N= floor(\omega_H/W)，也就是ωH/W\omega_H/W的整数部分
  • M=ωHW−NM=\frac{\omega_H}{W}-N, 且0≤M<10\le M < 1

最终2W<ωs<4W2W<\omega_s<4W

量化

均匀量化：

  • 最小量化间隔：ΔA=b−aM\Delta A=\frac{b-a}{M}，最大值b，最小值a，M个量化区间
  • 最大量化误差：(Δq)max⁡=ΔA/2(\Delta q)_{\max}=\Delta A/2
  • 量化信噪比：SoNo=M2\frac{S_o}{N_o}=M^2

非均匀量化：

A律压缩曲线：

y={Ax1+ln⁡A0<x≤1A1+Ax1+ln⁡A1A<x≤1y=\begin{cases} \frac{Ax}{1+\ln A} & 0<x\le \frac{1}{A} \\ \frac{1+Ax}{1+\ln A} & \frac{1}{A} < x\le 1 \end{cases}

采用13折线编码：A=87.6

量化信噪比：

  • 大信噪比时：SoNo=22Nb,Nb≥log⁡2M\frac{S_o}{N_o}=2^{2N_b},N_b\ge \log_2M
  • 小信噪比时：SoNo=14Pe\frac{S_o}{N_o}=\frac{1}{4P_e}, Pe为误码率

PCM编码

十三折线编码基本步骤

例题：对抽样值1268进行量化编码

编码结果是一个8位码b7b6b5b4b3b2b1b0b_7b_6b_5b_4b_3b_2b_1b_0

  • 符号位b7b_7：1-正，0-负；1268为正数，则b7=1b_7=1

  • 段落码b6b5b4b_6b_5b_4：根据下表判断该取哪个值，比如，抽样值为567，则512≤567<1024512\le567<1024，则b6b5b4=110b_6b_5b_4=110。抽样值为1268>1024，则b6b5b4=111b_6b_5b_4=111

    抽样值b6b5b4b_6b_5b_4
    1024111
    512110
    256101
    128100
    64011
    32010
    16001
    0000

  • 段内码b3b2b1b0b_3b_2b_1b_0：将对应区间分成均匀分为16份，比如抽样值为567，所在区间为[512, 1024)，分成16份，每份大小为(1024-512)/16=32；题中给的抽样值 1268>1024，因此1268所在的区间为[1024, 2048)，每份大小ΔA=(2048-1024)/16=64，则

    0000对应1024

    0001对应1024+64*1

    0010对应1024+64*2，

    …

    1111对应1024+64*15

  • 因为 1024+64*3=1216 < 1268 < 1024+64*4=1280，因此1268对应的b3b2b1b0=0011b_3b_2b_1b_0=0011

  • 综上，得到最终编码为 11110011

  • 误差计算

    • 采用起始电平为译码电平时，则实际上11110011对应1216，因此 误差=1268-1216=52
    • 通常采用中间电平为译码电平，即在原来的基础上加 ΔA/2，则1110011对应译码后应该为 1216+64/2=1248，因此最终【误差】=1268-1248=20

时分复用TDM

  • fs=2fmf_s=2f_m,Ts=12fmT_s=\frac{1}{2f_m}
  • 每个0、1信号占用时间：Tb=TsNbnT_b=\frac{T_s}{N_b n}, n代表几路信号进行复用
  • RB=1/TbR_B=1/T_b
  • 无码间干扰带宽：B=RB/2B=R_B/2
  • 主瓣带宽：B=1/τB=1/\tau，τ表示码元宽度

不采用时分复用时：RB=NbfsR_B=N_bf_s

第九章 差错控制编码

基本概念

码重：一个码中1的个数，如0011码重为2

对2个码求异或的结果中1的个数，即码距d0d_0，如 0011+1000=1011，码距为3

检错与纠错的条件

  • d0≥e+1d_0\ge e+1，可以检错e个码
  • d0≥2t+1d_0\ge 2t+1，可以纠错t个码
  • d0≥t+e+1且e≥td_0\ge t+e+1且e\ge t，可以检查出e个错，同时纠正其中t个错

线性分组码

对于一个(n, k)码，即n个码中有k个是信息码，r=n-k个监督码

  • 其编码效率为k/nk/n

  • 监督矩阵H0=[P   Ir]H_0=[P~~~I_r]，其中IrI_r代表单位矩阵，阶数为r，H0共n列，r行。（注：H0是典型化的矩阵，不是典型化需要进行【矩阵初等变化】，才能得到典型化的矩阵）

  • 生成矩阵G0=[Ik   PT]G_0=[I_k~~~P^T]，其中IkI_k代表单位矩阵，阶数为k，G0共n列，k行。（注：G0是典型化的矩阵，不是典型化需要进行【矩阵初等变化】，才能得到典型化的矩阵）

发送时使用的码组（系统码）：A=[an−1an−2⋯an−k]×G0A=[a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_{n-k}]\times G_0

【译码方式】

计算校正子ST=HRTS^T=HR^T，RTR^T为接收码组的列向量

∣ST∣−1=j|S^T|-1=j，则 R 中从又往左数（0开始）第j个码发生错误，记得在回答时纠正过来

循环码

生成多项式 g(x) 的确定

  • g(x)最高次项为xn−kx^{n-k}，常数项为1
  • 一般题目会给出许用码组，在许用的码组中找出一个码字，其中an−ka_{n-k}左边的码均为0，第n-k个码an−ka_{n-k}为1，最右边的码a0a_0为1，然后根据这个码的a1,a2,⋯ ,an−k−1a_1,a_2,\cdots,a_{n-k-1}来判断g1,g2,⋯ ,gn−k−1g_1,g_2,\cdots,g_{n-k-1}是多少。

证明g(x)是循环码(n,k)的生成多项式

  • 即证xn−1x^n-1 能被g(x)g(x) 整除

求码多项式A(x)

  • 先求监督多项式r(x)≡xn−km(x)，模g(x)r(x)\equiv x^{n-k}m(x)，模g(x)

  • 则A(x)=m(x)xn−k+r(x)A(x)=m(x)x^{n-k} + r(x)

    m(x)为信息码多项式

判断接收到的码多项式R(x)R(x) 是不是码多项式

  • 利用所有码多项式均能被 g(x) 整除的性质

译码：ST=HRTS^T=HR^T 或S=RHTS=RH^T

第十章 数字信号的最佳接收

最大信噪比准则与匹配滤波器

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  • 输出噪声功率谱Pno(ω)=no2∣H(ω)∣2P_{no}(\omega)=\frac{n_o}{2}|H(\omega)|^2,n0/2n_0/2是输入高斯白噪声的功率谱密度函数PniP_{ni}
  • 输出噪声总功率No=12π∫−∞+∞Pno(ω)dωN_o=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}P_{no}(\omega)d\omega
  • 输入信号功率Ei=12π∫−∞+∞∣Si(ω)∣2dωE_i=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|S_i(\omega)|^2d\omega
  • 最大输出信噪比romax=Ein0/2r_{omax}=\frac{E_i}{n_0/2}

根据si(t)s_i(t) 计算匹配滤波器系统函数和冲击响应函数

  • h(t)=Ksi(t0−t)h(t)=Ks_i(t_0-t)，通常取K=1,t0=TbK=1, t_0=T_b
  • H(ω)=KSi∗(ω)e−jωt0H(\omega)=KS_i^*(\omega)e^{-j\omega t_0}

输出信号计算：so(t)=KRsi(t0−t)s_o(t)=KR_{s_i}(t_0-t)

匹配滤波器结构

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最小误码率准则与相关接收机

判决准则

P(s1)P(x∣s1)>P(s2)P(x∣s2)P(s_1)P(x|s_1)>P(s_2)P(x|s_2) 则判断为s1, 否则为s2，相等时无法判断，误码率最大

相关接收机结构

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最佳接收机误码率

Pe=12erfc(Eb(1−ρ)2n0)P_e=\frac{1}{2}erfc(\sqrt{\frac{E_b(1-\rho)}{2n_0}})

其中，两个信号平均能量Eb=12∫0T(s12(t)+s22(t))dtE_b=\frac{1}{2}\int_{0}^{T}(s_1^2(t)+s_2^2(t))dt

相关系数ρ=∫0Ts1(t)s2(t)dtEb\rho=\frac{\int_0^Ts_1(t)s_2(t)dt}{E_b}

  • 当使用 双极性码，PSK发送时，ρ=-1
  • 当使用 单极性码，ASK或FSK发送时，ρ=0
  • ρ=1时，Pe=0.5，误码率最大

第十一章 同步原理

载波同步

  • 插入导频法
  • 直接提取法
    • 平方变换法（平方环法）
    • 同相正交环法

位同步

  • 外同步法
    • NRZ码：在ωb\omega_b处插入导频
    • RZ码，在ωb/2\omega_b/2 处插入导频，然后2倍频即可得到ωb\omega_b
  • 自同步法
    • 模拟锁相环法
    • 带限整流法
    • 数字锁相环

帧同步

巴克码作帧同步码